7.2.2 复数的乘、除运算[目标] 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．[重点] 复数的乘法与除法的运算法则．[难点] 复数的除法运算． 要点整合夯基础 知识点一 复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .2．复数的乘法满足的运算律对任意 z1、z2、z3∈C，有[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若 z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z＋2z1·z2＋z 是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到 i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二 复数的除法运算[填一填]复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)．[答一答]3．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可． 典例讲练破题型 类型一 复数的乘法运算[例 1] (1)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i(2)已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝________.[分析] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．[解析] (1) a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以 a＋bi＝1＋2i.[答案] (1)A (2)1＋2i正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.[变式训练 1] 计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)；(3)(1－i)3.解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＝(－2＋...
