1.1.1 集合的概念课堂导学三点剖析一、集合的概念【例 1】判断下列语句能否确定一个集合?如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集.(1)申办 2008 年奥运会的所有城市.(2)举办 2008 年奥运会的城市.(3)举办 2016 年奥运会的城市.(4)在 2004 年 12 月 26 日印度洋地震海啸中遇难的人的全体.(5)大于零且小于 1 的所有的整数.(6)大于零且小于 1 的所有的实数.思路分析:紧扣“集合”“有限集”“无限集”的定义解决问题.解:(1)申办 2008 年奥运会的是几个确定的不同的城市,能组成一个集合,且为有限集.(2)举办 2008 年奥运会的城市也能组成一个集合且为有限集.(3)因为举办 2016 年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集合.(4)在 2004 年 12 月 26 日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的、不同的.这些人的全体能组成一个集合,且为有限集.(5)大于零且小于 1 的所有整数能组成一个集合.这个集合中不含任何元素,即为空集,它是有限集.(6)大于零且小于 1 的实数也是确定的,因此这样的所有的实数也能组成一个集合,且为无限集.二、元素与集合的关系【例 2】用符号∈或填空.(1)2________{x|x<},+________{x|x≤2+}.(2)3________{x|x=n2+1,n∈N},(-1,1)________{y|y=x2}.(3)设 x=,y=3+π,M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q}，则 x________M,y________M.思路分析:看所要判断的元素是否能化成集合中元素的形式,方能判定它们的关系.解:(1)2=>.+==7<==2+.∴填,∈.(2)设 n2+1=3,n=±N,∴填.把(-1,1)代入 y=x2成立,但(-1,1)是有序实数对,而{y|y=x2}是 y 值的集合，∴填.(3)x==,∈Q,∈Q.∴x∈M. πQ，∴yM.∴填∈，.答案:(1) ∈ (2) (3)∈ 温馨提示 判断元素与集合的关系,要明确集合中元素的特征,准确理解集合是解题的关键.要记清常见数集的符号表示,在判断时,常需先把所给元素化简.三、利用集合元素的性质解决问题【例 3】已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.(1)若 A 只有一个元素,试求 a 的值,并求出这个元素;(2)若 A 是空集,求 a 的取值范围;(3)若 A 至多有一个元素,求 a 的取值范围.解析:(1)当 a=0 时,此方程为 2x+1=0,只有一个根为 x=;当 a≠0 时,则 Δ=0,即 4-4a=0,∴a=1,此时方程有两个相等的实根 x1=x2=-1.综上可知,当 a=0 或 a=1 时,集合 A 中分别只有一个元素为或-1.(2)若 A 为空集,则即得 a>1.(3)集合 A 至多有一个根,包括集合 A 为空集和集合 A 为只有一个元素的集合两种...
