7.3.4 正切函数的性质与图像[课程目标] 1.掌握正切函数的性质会求正切函数的定义域、值域和周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．2．会作出正切函数的简图，并能借助图像理解函数的性质．[填一填]1．正切函数的性质2.正切函数的图像根据正切函数的定义域和周期，我们取 x∈，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出 y＝tanx，x∈的图像，而后向左、右扩展，得 y＝tanx，x∈R 且 x≠kπ＋(k∈Z)的图像，如图所示，y＝tanx 的函数图像称为正切曲线．[答一答]1．有人说：正切函数在整个定义域内是增函数，这种说法对吗？提示：这种说法不对，正切函数在某个单调区间上是增函数，在整个定义域上不是增函数，如 x1＝，x2＝π 时，显然 x1y2，不符合增函数的定义．2．怎样作正切函数的图像？提示：由诱导公式 tan(x＋π)＝tanx，x∈R，且 x≠＋kπ，k∈Z.知正切函数是周期函数，并且可以证明 π 是它的最小正周期．用单位圆上的正切线可作正切函数 y＝tanx 在开区间内的图像，如图(1)．根据正切函数的周期性，我们可以把图像向左、向右连续平移，得出 y＝tanx，x∈，k∈Z 的图像，我们把它叫做正切曲线，如图(2)．类似于正弦函数、余弦函数的“五点法”作图，正切函数 y＝tanx，x∈的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(0,0)，，.两线为直线 x＝，直线 x＝－.正切曲线是由相互平行的直线 x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．类型一 正切函数的定义域和值域命题视角 1：正切函数的定义域[例 1] 求函数 y＝的定义域．[分析] 根据解析式有意义的条件，列出不等式组求解即可．[解] 要使 y＝有意义，须满足∴∴∴原函数的定义域为.1.此类问题常常归结为解三角不等式组问题，这时可以利用基本三角函数的图像或单位圆中的三角函数线直观地求解集.2.解题时，函数 y＝tanx 本身的定义域极容易被忽视，遇到解析式中含 tanx 的题目时，一定要格外慎重.[变式训练 1] 求函数 y＝tan 的定义域．解：由于 y＝tanx 的定义域为.所以 x＋≠kπ＋，即 x≠kπ＋，k∈Z.故函数 y＝tan 的定义域为.命题视角 2：正切函数的值域[例 2] 求函数 y＝sinx＋tanx 在的值域．[分析] 先判断单调性，再利用单调性求出上的值域．[解] y＝sinx 在上是增函数，y＝tanx 在上也是增函数，∴函数 y＝sinx＋tanx 在上是增函数．∴当 x＝－时，函数有最小值...
