1.2.2 集合的运算 1习导航课程目标学习脉络1.理解两个集合的交集与并集的概念，明确数学中的“且”“或”的含义．2．会求两个集合的交集与并集．并能利用交集与并集的性质解决相关问题．3．能使用 Venn 图或数轴表示集合之间的运算，体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.1．交集特别提醒：对于 A∩B＝{x|x∈A ，且 x∈B}，不能仅认为 A∩B 中的任一元素都是 A 与B 的公共元素，同时还有 A 与 B 的公共元素都属于 A∩B 的含义，这就是文字定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素．思考 1 两个非空集合的交集可能是空集吗？提示：两个非空集合的交集可能是空集，即 A 与 B 无公共元素时，A 与 B 的交集仍然存在，只不过这时 A∩B＝∅.反之，若 A∩B＝∅，则 A，B 这两个集合可能至少有一个为空集，也可能这两个集合都是非空的，如：A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8,10}，此时 A∩B＝∅.2．并集思考 2 集合 A∪B 中的元素个数如何确定？提示：(1)当两个集合无公共元素时，A∪B 的元素个数为这两个集合元素个数之和；(2)当两个集合有公共元素时，根据集合元素的互异性，同时属于 A 和 B 的公共元素，在并集中只列举一次，所以 A∪B 的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数．思考 3A∩B 与 A∪B 是什么关系？提示：集合 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}中 x∈A 或 x∈B 包含三层意思：“ x∈A，但x∉B”，如图甲所示的阴影部分；“x∈A，且 x∈B”，如图乙所示的阴影部分；“x∈B，但 x∉A”，如图丙所示的阴影部分．又 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}，则有(A∩B)⊆(A∪B)．当且仅当 A＝B 时，A∩B＝A∪B；当且仅当 A≠B 时，(A∩B) ( A∪B)．3．交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩AA∪B＝B∪AA∩A＝AA∪A＝AA∩∅＝∅∩A＝∅A∪∅＝∅∪A＝A如果 A⊆B，则 A∩B＝A如果 A⊆B，则 A∪B＝B思考 4A∩(B∪C)与 A∪(B∩C)相等吗？提示：A∩(B∪C)如图甲所示的阴影部分，A∪(B∩C)如图乙所示的阴影部分．由图可知，A∩(B∪C)≠A∪(B∩C)，事实上有：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．
