高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式（第1课时）课堂探究学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.2 绝对值不等式 1课堂探究1．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由 ab＞0，ab＜0，ab＝0 三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量 a，b 替换实数 a，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量 a，b 不共线时，a＋b，a，b 构成三角形，有|a＋b|＜|a|＋|b|.当向量 a，b 共线时，a，b 同向(相当于 ab≥0)时，|a＋b|＝|a|＋|b|；a，b 异向(相当于 ab＜0)时，|a＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.我们较为常用的形式是|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a＋b|是不小于||a|－|b||的． 题型一 绝对值三角不等式的性质【例 1】若 x＜5，n∈N，则下列不等式：①＜5；②|x|lg＜5lg；③xlg＜5；④|x|lg＜5.其中，能够成立的有______．解析： 0＜＜1，∴lg＜0.由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系，∴①② 可能不成立；当 x＝－6 时，可知③不成立；由|x|lg＜0,5＞0，可知④成立．答案：④反思 一个不等式成立与否，取决于影响不等号的因素，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都会对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，对于一个不等式是否成立也就比较好判断了.题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例 2】设 m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|＞m 时，求证：＜2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a|，|b|和 1 这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|，m≥1.证明： |x|＞m≥|a|，|x|＞m≥|b|，|x|＞m≥1，∴|x|2＞|b|，1∴≤＋＝＋＜＋＝2.∴＜2.故原不等式成立．反思 分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息...