高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

1.2.1.绝对值三角不等式学习目标1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1 不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件是怎样的？探究 2 你能给出定理 2 的几何解释吗？探究 3．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？例 1 (1)以下四个命题：① 若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；② 若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③ 若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；④ 若 AB≠0，则 lg≥( lg|A|＋lg|B|)．其中正确的命题有( )A．4 个 B．3 个C．2 个 D．1 个(2)不等式≥1 成立的充要条件是________．变式练习 1．(1)若 x＜5，n∈N＋，则下列不等式：①|xlg|＜5|lg|；②|x|lg＜5lg；③xlg＜5|lg|；④|x|lg＜5|lg|.其中，能够成立的有________．(2)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则 m，n 之间的大小关系是( )A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n例 2 已知 a，b∈R 且 a≠0，求证：≥－.变式练习 2．若 f(x)＝x2－x＋c(c 为常数)，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．例 3 已知 a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．变式练习 3．(1)求函数 y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；(2)求函数 y＝|x－4|＋|x－3|的最小值．参考答案探究 1 【提示】 不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是 ab≤0，左侧“＝”成立的条件是 ab≥0 且|a |≥|b|.探究 2 【提示】 在数轴上，a，b，c 的对应的点分别为 A，B，C.当点 B 在点 A，C 之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点 B 不在点 A，C 之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.探究 3 【提示】 |a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．例 1 [解析] (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a||a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；|y|＞3，∴＜.又 |x|＜2，∴＜.③ 正确；＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．(2)...