高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 第1课时 绝对值三角不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

第 1 课时 绝对值三角不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理 1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理 2).3.会用定理 1、定理 2 解决简单的绝对值不等式问题．知识点 绝对值三角不等式思考 1 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是什么？答案 |a|表示数轴上以 a 为坐标的点 A 到原点的距离．思考 2 代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？答案 表示数轴上的点 x 到点－2,3 的距离之和．梳理 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立．几何解释：用向量 a，b 分别替换 a，b.① 当 a 与 b 不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；② 若 a，b 共线，当 a 与 b 同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当 a 与 b 反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③ 定理 1 的推广：如果 a，b 是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当( a － b )( b － c )≥0 时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，当点 B 在点 A，C 之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点 B 不在点 A，C 之间时：① 点 B 在 A 或 C 上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；② 点 B 不在 A，C 上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．类型一 含绝对值不等式的证明例 1 设函数 f(x)＝x2－2x，实数 a 满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明 f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3，∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练 1 已知|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，求证：|(...