1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立．几何解释：用向量 a，b 分别替换 a，b.① 当 a 与 b 不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．② 若 a，b 共线，当 a 与 b 同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当 a 与 b 反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③ 定理 1 的推广：如果 a，b 是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当( a － b )( b － c )≥0 时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，当点 B 在点 A，C 之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点 B 不在点 A，C 之间时：①点 B 在点 A 或点 C 上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；② 点 B 不在点 A，C 上时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明 已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<.求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)||a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选 B ab<0 且|a－b|2＝a2＋b2－2ab，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<|a－b|2.∴(|a|＋|b|)2＝a2＋b2＋2|ab|＝|a－b|2.故 A、D 不正确；B 正确；又由定理 1 的推广知 C 不正确．2．设 ε>0，|x－a|<，|y－a|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤|2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε....
