1．柱坐标系柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组( ρ ， θ ， z ) (z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P ( ρ ， θ ， z ) ，其中 ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 将直角坐标化为柱坐标 设点 A 的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标． 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝求 θ. 由公式得 ρ2＝x2＋y2，即 ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.tan θ＝＝，又 x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝，∴点 A 的柱坐标为.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定 ρ 和 θ，尤其是 θ，要注意求出 tan θ 后，还要根据点所在象限确定 θ 的值(θ 的范围是 已知点 P 的柱坐标为，求它的直角坐标． 直接利用公式求解． 由变换公式得x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点 P 的直角坐标为(2,2，8)．已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式即可．3．点 N 的柱坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝ρcos θ＝2cos＝0，y＝ρsin θ＝2sin＝2，故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．4．已知点 A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为，求 A，B 两点间距离．解：由 x＝ρcos θ，得 x＝cos π＝－1.由 y＝ρsin θ，得 y＝sin π＝0.∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)．1同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)．∴|AB|＝＝.故 A，B 两点间的距离为.课时跟踪检测(五)一、选择题1．设点 M 的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )A. B. C. D.解析：选 D ρ＝＝2，tan θ＝－，又 x>0，y<0，M 在第四象限，∴θ＝，∴柱坐标是.2．点 P 的柱坐标为，则点 P 与原点的距离为( )A. B．2 C．4 D．8解析：选 B 点 P 的直角坐标为(4，4，2)．∴它与原点的距离为：＝2.3．空间点 P 的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点 O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)答案：C4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于 z 轴对称点的柱坐标为( )A. B. C. ...
