四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例 1】 设点 M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得 ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ=2.又 tanθ= xy =1,∴θ= 4 (M 在第Ⅰ卦限).故 M 的柱坐标为(2 , 4 ,3).温馨提示 可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ). 三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设 M 的直角坐标为(1,3,4),求其柱坐标.解:由公式得 ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又 tanθ= xy =3,∴θ= 32 .∴柱坐标为(2, 32 ,4).变式提升 1设 M 的柱坐标为(2, 6 ,7),求直角坐标.解:由公式得 ρ2=x2+y2=4,又 tan6 =33 =xy ,∴y=31 x.∴y2=1.∴y=1,x= 3 .∴直角坐标为( 3 ,1,7).1二、已知直角坐标求球坐标【例 2】 设点 M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.解：由公式得 r=222zyx=2,由 rcosφ=z=2,得cosφ=222 r,φ=4 .又 tanθ= xy =1,θ= 4 .∴点 M 的球坐标为(2, 4 , 4 ).类题演练 2设 M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得 r=222zyx=2,由 rcosφ=z 得 cosφ= 21 ,φ= 3 .又 tanθ=22,∴θ=π-arctan22 .∴球坐标为(2,3 ,π-arctan22 ).三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例 3】 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1的边长为 AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，以射线 AB,AD,AA1分别为 Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来. C1点的(x,y,z)分别对应着 CD,BC,CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着 AC,∠BAC,CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着 AC1,∠A1AC1,∠BAC.2解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(232 ,arctan 73 ,10)，C1点的球坐标为( 332 ,arccos33210,arctan73 ).温馨提示 应当注意,在球坐标系中,当点 P 在 z 轴上,θ 不确定;点 P 与坐标原点 O 重合,φ 与 θ都不确定.类题演练 3 经过若干个固定和流动...
