四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例 1】 设点 M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标
解：由变换公式得 ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ=2
又 tanθ= xy =1,∴θ= 4 (M 在第Ⅰ卦限)
故 M 的柱坐标为(2 , 4 ,3)
温馨提示 可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的
在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度
它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ)
三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同
类题演练 1设 M 的直角坐标为(1,3,4),求其柱坐标
解:由公式得 ρ2=1+3=4,∴ρ=2
又 tanθ= xy =3,∴θ= 32
∴柱坐标为(2, 32 ,4)
变式提升 1设 M 的柱坐标为(2, 6 ,7),求直角坐标
解:由公式得 ρ2=x2+y2=4,又 tan6 =33 =xy ,∴y=31 x
∴y=1,x= 3
∴直角坐标为( 3 ,1,7)
1二、已知直角坐标求球坐标【例 2】 设点 M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标
解：由公式得 r=222zyx=2,由 rcosφ=z=2,得cosφ=222 r,φ=4
又 tanθ= xy =1,θ= 4
∴点 M 的球坐标为(2, 4 , 4 )
类题演练 2设 M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标
解:由公式得 r=222zyx=2,由 rcosφ=z 得 cosφ= 21 ,φ= 3
又 tanθ=22,∴θ=π-arctan22
∴球坐标为(2,3 ,π-arctan22 )
三、用柱坐标与
