一 平面直角坐标系课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题 我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便.请看例 1.【例 1】 两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹.解：如图. 以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 中点为原点,建立平面直角坐标系,则 A(-3,0),B(3,0),设动点 P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即 x2+y2=4. 这即是点 M 的轨迹方程,是以 AB 的中点为圆心,2 为半径的圆.温馨提示 由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了.各个击破类题演练 1 已知 A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,|BC|=4,点 A 到 l 的距离为 3.求△ABC 外心的轨迹方程.解:以 l 为 x 轴,过 A 与 l 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A 为(0,3),设△ABC 的外心为 P(x,y).因为 P 是 BC 的中垂线上的点,故 B,C 坐标分别为(x-2,0),(x+2,0).因 P 在线段 AB 的中垂线上,故|PA|=|PB|,即22222)3(yyx,即 x2-6y+5=0.变式提升 1 证明三角形的三条高线交于一点.证明:如图,△ABC,则 AD,BE,CO 分别是△ABC 的三条高,取边 AB 所在的直线为 x 轴,CO 所在的直线为 y 轴,建立坐标系. 设 BE 交 AD 于点 H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则BH=(x-b,y),AH=(x+a,y),BC=(-b,c), AC=(a,c). AC⊥ BH AC· BH=0,即 a(x-b)+cy=0,①1 BC⊥ AH BC· AH=0,故(-b)(x+a)+cy=0,②①-② 得(a+b)x=0. a+b≠0,∴x=0.∴H 在 AB 的高线上,即△ABC 三条高线交于一点.二、坐标变换问题【例 2】 在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx4,21后的图形.①y2=2x;②y=3sin2x.解:由伸缩变换yyxx4,21得.41,2yyxxy′.(*)① 将(*)代入 y2=2x,得( 41 y′)2=2·(2x′).∴y′2=64x′. ∴经过伸缩变换后抛物线 y2=2x 变成了抛物线 y′2=64x′.② 将(*)代入 y=3sin2x,得 41 y′=3sin2·(2x′),∴y′=12sin4x′. ∴经过伸缩变换后,曲线 y=3sin2x 变成了曲线 y′=12sin4x′.类题演练 2将曲线 C 按伸缩变换公式yyxx3,2变换后的曲线方程为 x′2+y′2=1,则曲线 C 的方程为( )A.9422yx =1 B.4922yx =1C.4x2+9y2=36 D.4x2+9y2=1解析:将yyxx3,2代入方程 x′2+y′2=1,得 4x2+9y2=...
