一 平面直角坐标系课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题 我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便
【例 1】 两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹
以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 中点为原点,建立平面直角坐标系,则 A(-3,0),B(3,0),设动点 P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即 x2+y2=4
这即是点 M 的轨迹方程,是以 AB 的中点为圆心,2 为半径的圆
温馨提示 由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了
各个击破类题演练 1 已知 A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,|BC|=4,点 A 到 l 的距离为 3
求△ABC 外心的轨迹方程
解:以 l 为 x 轴,过 A 与 l 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A 为(0,3),设△ABC 的外心为 P(x,y)
因为 P 是 BC 的中垂线上的点,故 B,C 坐标分别为(x-2,0),(x+2,0)
因 P 在线段 AB 的中垂线上,故|PA|=|PB|,即22222)3(yyx,即 x2-6y+5=0
变式提升 1 证明三角形的三条高线交于一点
证明:如图,△ABC,则 AD,BE,CO 分别是△ABC 的三条高,取边 AB 所在的直线为 x 轴,CO 所在的直线为 y 轴,建立坐标系
设 BE 交 AD 于点 H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则BH=(x-b,y),AH=(x+a,y),BC=(-b,c), AC=(a,c)
AC⊥ BH AC· BH=0,即 a(x-b)+cy=0,①1 BC⊥ AH BC· AH=0,故(-b)(x+a)+cy=0,②①-② 得(a+b)x=0
