1.1.1 正弦定理(1)【学习目标】1．通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理.2．能够利用向量方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题.【重点难点】1．重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用.2．难点:正弦定理的应用.【学习过程】一、自主学习：任务 1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?__________________________________________________.任务 2:在问题 1 中发现的关系式对一般的三角形是否成立呢?正弦定理:_________________________.二、合作探究归纳展示探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 RtABC 中，设 BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又， 从而在直角三角形 ABC 中，． 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=，则， 同理可得， 从而．类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你推试导.三、讨论交流点拨提升在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即．（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使， ，；（2）等价于 ，，．（3）正弦定理的基本作用为：① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．例 1. 在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例 2. 在．变式：在．四、学能展示课堂闯关 知识拓展，其中为外接圆直径1. 在中，若，则是（ ）.A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等边三角形2. 已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则 a∶b∶c 等于（）. A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶3. 在△ABC 中，若，则与的大小关系为（ ）.A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定4. 已知ABC 中，，则= ．5. 已知ABC 中， A，，则= ．五、学后反思1. 正弦定理：2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， ② 等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形： ① 已知两角和一边；② 已知两边和其中一边的对角．【课后作业】1. 已知△ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数 k 的取值范围为．
