高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理（1）学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案

1．1.2 余弦定理(一)学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一 余弦定理的推导思考 1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C＝90°，则 c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案 当 a＝b＝c 时，∠C＝60°，a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有 c2＝a2＋b2－2abcos C.思考 2 在 c2＝a2＋b2－2abcos C 中，abcos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考 1 的猜想吗？答案 abcos C＝|CB||CA|cosCB，CA＝CB·CA.∴a2＋b2－2abcos C＝CB2＋CA2－2CB·CA＝(CB－CA)2＝AB2＝c2.猜想得证．梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长．另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．知识点二 余弦定理的呈现形式1．a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos _A，b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos _B，c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C.2．cos A＝；cos B＝；cos C＝.知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．类型一 余弦定理的证明1例 1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b 和角 C，求解 c.解 如图，设CB＝a，CA＝b，AB＝c，由AB＝CB－CA，知 c＝a－b，则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C.所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度，能不能用解析几何的两...