高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

一 平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 求轨迹方程问题 设 A 是单位圆 x2＋y2＝1 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点 A 在圆上运动时，记点 M的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点 M 的坐标(x，y)，直接利用条件求解． 如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)，可得 x＝x0，|y|＝m|y0|，所以 x0＝x，|y0|＝|y|. ①因为 A 点在单位圆上运动，所以 x＋y＝1. ②将①式代入②式，即得所求曲线 C 的方程为 x2＋＝1(m>0，且 m≠1)．因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当 01 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x1，y1)，而 Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于 x，y，x1，y1的方程组，利用 x，y 表示 x1，y1，把 x1，y1代入已知曲线方程即为1所求．(4)参数法：动点 P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P(a，b)的轨迹方程.解：由已知可得①2－2×②，得 a2＝2b＋1. |θ|≤，由 sin ...