第 1 课时 余弦定理及其应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一 余弦定理在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，b2＝a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C 推论cosA＝，cosB＝，cosC＝思考 在 a2＝b2＋c2－2bccosA 中，若 A＝90°，公式会变成什么？答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理．知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．(2)已知三角形的三边，求三角形的三个角．1．在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( × )2．在△ABC 中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．( √ )3．在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝0，则角 C 为直角．( √ )4．在△ABC 中，若 a2＋b2－c2>0，则角 C 为钝角．( × )题型一 用余弦定理解三角形命题角度 1 已知两边及其夹角例 1 在△ABC 中，a＝1，b＝2，cosC＝，则 c＝；sinA＝.答案 2 解析 根据余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，解得 c＝2.由 a＝1，b＝2，c＝2，得 cosA＝＝，所以 sinA＝＝.反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边．跟踪训练 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2，C＝15°，求 A.解 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4，所以 c＝－.由正弦定理，得 sinA＝＝，因为 b>a，所以 B>A，所以 A 为锐角，所以 A＝30°.命题角度 2 已知三边例 2 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝6＋2，c＝4，求 A，B，C.解 根据余弦定理，得 cos A＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝，cos C＝＝＝， C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，∴A＝，B＝，C＝.反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角．跟踪训练 2 在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解 因为 a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c 最大，cosC＝<0，所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形．题型二 余弦定理的证明例 3 已知钝角△ABC，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，...
