1．4.2 充要条件1．掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法．2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件．3．会对某些命题的充要条件进行证明．充要条件如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p ⇒ q ，又有q⇒p，记作 p⇔q.此时 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件．我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，即如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件① 若 p⇒q，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．② 若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件．③ 若 p⇒q，且 q⇒p，则称 p 是 q 的充分不必要条件．④ 若 p⇒q，且 q⇒p，则称 p 是 q 的必要不充分条件．⑤ 若 p⇒q，且 q⇒p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 p⇔q，q⇔s，则有 p⇔s，即 p 是 s 的充要条件．1．通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？[答案] 充要条件 两组对边分别相等的四边形、对角线互相平分的四边形等2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若 p⇒q 和 q⇒p 有一个成立，则 p 一定不是 q 的充要条件．( )(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√题型一充要条件的判断【典例 1】 在下列各题中，试判断 p 是 q 的什么条件．(1)p：a＋5 是无理数，q：a 是无理数；(2)若 a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.[思路导引] 判断是否 p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为 a＋5 是无理数⇒a 是无理数，并且 a 是无理数⇒a＋5 是无理数，所以 p是 q 的充要条件．(2)因为 a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且 a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以 p 是 q 的充要条件．(3)因为 A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以 p 是 q 的充要条件．[变式] 已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的...
