1.2 函数及其表示知识导学 函数实质上是从集合 A 到集合 B 的一个特殊的映射,其特殊性在于集合 A、B 都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合 C 叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域 C 并不一定等于集合 B,而只能说 C 是 B 的一个子集. 构成函数的三要素:定义域 A,对应法则 f,值域 B.其中核心是对应法则 f,它是联系 x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合 A 中的每一个元素在 B 中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可. 函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域. 一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了. 值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了. 求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有(1)图象法;(2)反解 x;(3)配方法;(4)换元法.以后还可用单调性、判别式法等. 所谓函数 y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值 x0作为横坐标,相应的函数值 f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0,f(x0))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数 y=f(x)的图象. 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象;(2)能以函数的图象识别相应函数的性质;(3)能用数形结合思想以图辅助解题. 根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定. 函数是特殊的映射,即当两个集合 A、B 均为非空数集时,则从 A 到 B 的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.疑难导析 1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相...
