高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3．1.1 两角差的余弦公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．掌握两角差的余弦公式及其应用．两角差的余弦公式(1)cos(α－β)＝______________.(2)此公式简记作 C(α－β)．对两角差的余弦公式的理解：① 公式中的 α，β 都是任意角．② 差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，cos(α－β)≠cos α－cos β.③ 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题．如 由 cos 50°cos 20° ＋ sin 50°sin 20° 能 迅 速 地 想 到 cos 50°cos 20° ＋ sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝；又如 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α.④ 记忆：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．【做一做 1－1】 cos 17°等于( )A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°B ． cos 20°cos 3° ＋ sin 20°sin 3°C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°D ． cos 20°sin 20° ＋ sin 3°cos 3°【做一做 1－2】 cos(30°－45°)等于( )A. B.C. D.答案：(1)cos αcos β＋sin αsin β【做一做 1－1】 B cos 17°＝cos(20°－3°)＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.【做一做 1－2】 D cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.利用 C(α－β)求特殊角的余弦值剖析：常见的特殊角有：0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，其中任意两个角的差的余弦值均能用 C(α－β)求出．这些角是：30°－45°＝45°－60°＝120°－135°＝135°－150°＝－15°，45°－30°＝60°－45°＝135°－120°＝150°－135°＝15°，135°－60°＝75°，60°－135°＝－75°，135°－30°＝150°－45°＝105°，30°－135°＝45°－150°＝－105°.由此看来，±15°、±75°、±105°等角的余弦值均能用 C(α－β)求出．题型一 化简求值问题【例 1】 求值：(1)sin 285°；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)．分析：解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解．反思：解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．题型二 给值(式)...