高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C ＝ C ＋ C.2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C＝C，C＝C，…，C＝C.(2)增减性与最大值：当 k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数 C 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C 与 C 相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝2 n ；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 .[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项展开式的二项式系数和为 C＋C＋…＋C.( )(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确．(2)× 二项展开式的二项式系数的和应为 C＋C＋C＋…＋C＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案] (1)√ (2)× (3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( ) 【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215 D．315B [令 x＝1 即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )A．第 8 项 B．第 7 项C．第 9 项 D．第 10 项C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( ) 【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)rC(r＝0,1,2,3)D．(－1)rC(r＝0,1,2,3,4)A [杨辉三角第 4 行的数字即为二项式系数．][合 作 探 究·攻 重 难]“杨辉三角”的应用 如图 131，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前 n...