高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理（第1课时）课堂探究学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

1.3 二项式定理 1课堂探究探究一 二项式定理(1)简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化，记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提．(2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点．a 的指数是从高到低，b 的指数是从低到高，a，b 的指数和都相等，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n的形式．【典型例题 1】(1)求 4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．思路分析：(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开．(2)分析式子的结构形式，逆用二项式定理求解．解：(1)方法一：直接利用二项式定理展开并化简：4＝C·(2)4·0＋C·(2)3·＋C·(2)2·2＋C·(2)·3＋C·(2)0·4＝16x2＋32x＋24＋＋.方法二：4＝4＝(2x＋1)4＝[C(2x)4·10＋C·(2x)3·1＋C·(2x)2·12＋C·(2x)·13＋C·(2x)0·14]＝(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1)＝16x2＋32x＋24＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.规律总结 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．探究二 二项展开式中特定项的计算求展开式中的某些特定项时，应先确定哪些项是要求的项，再用通项公式求解．常见问题：求常数项(未知量的指数为零)，求有理项(项的指数为整数)，求某一项．注意某项的系数与二项式系数的区别．【典型例题 2】已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项．(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思路分析：利用展开式的通项公式，求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解第(2)问、第(3)问．解：(1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为 Tk ＋ 1＝C·()n － k·k＝C·13()n kx ·1312kx＝k·23Cnkknx. 第 6 项为常数项，∴k＝5，且 n－5×2＝0，∴n＝10.(2)由(1)知 Tk＋1＝k·C·10 23kx.令＝2，则 k＝2.1∴x2的系数为 2×C＝×45＝.(3)当 Tk＋1为有理项时，为整数，0≤k≤10，且 k∈N*.令＝z，则 k＝5－z，∴z 为偶数，从而求得当 z＝2,0，－2 时，k＝2,5,8 符合条件．∴有理项为 T3＝C·2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8x－2...