高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理知识导航学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.3 二项式定理知识梳理1.二项式定理（1）(a+b)n=___________（n∈N*）.（2）(a+b)n的展开式中共有___________项，其中各项的系数rnC (r=0,1,2, …,n)叫做___________.式中的rnC an-rbr叫做二项展开式的___________.它是展开式中的第_________项.（3）(a-b)n=___________;(1+x)n=___________.2.“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）对称性：在(a+b)n的展开式中，___________的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值：当 r＜21n时,二项式系数是逐渐___________的，由对称性可知它的后半部分是逐渐___________的,且在中间取到最大值.当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数___________取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数___________相等,且同时取到最大值.3.各二项式系数的和nnnnnCCCC210=_________________.531420nnnnnnCCCCCC…=________________.知识导学 学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n的展开式，应该了解展开式各项的如下两个特征：①每一项次数之和为 n,②a 按降幂排列，从 n 到 0 次;b 按升幂排列，从 0 次到 n 次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项. 在二项式定理中，对 a、b 赋予不同的值，就得不同形式的组合恒等式，在多项展开式中，系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养，掌握二项式定理的逆用.疑难突破1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念？剖析：两者是不同的概念.rnC (r=0,1,2, …,n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如（1+2x）7的二项展开式的第 4 项的二项式系数为37C =35.而其第 4 项的系数为37C ·23=280.2.如何用组合的知识理解二项式定理？剖析：由于(a+b)n=个nbababa)())((,将(a+b)看作是含有红（a）、白（b）两球的盒子，则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如 an-rbr是从这 n 个盒子中取出 r 个（b）白球、(n-r)个红球的情况，其方法数为rnC ，因此有(a+b)n= 1nnnrrnrnnnnnbCbaCbaCaC110.3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用？剖析：事实上，二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a、b 的一切值都成立，因此对一些特定的值也成立.对 a、b 赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a,b)=(a+b)n=nnnrrnrnnnnnbCbaCbaCaC110,对 a、b 赋于一定的值，就能得到一个等式.2