3.1.2 瞬时速度与导数[学习目标] 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在一点处导数的定义．[知识链接]函数 f(x)在 x＝x0处的导数与 Δx 趋近于 0 的方式有关吗？答案 没有关系．无论 Δx 从一侧趋近于 0 还是从两侧趋近于 0，其导数值应相同．否则f(x)在该点处导数不存在，如函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处导数不存在．[预习导引]1．瞬时变化率设函数 y＝f(x)在 x0附近有定义，当自变量在 x＝x0附近改变 Δx 时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率趋近于一个常数 l，则数 l称为函数 f(x)在点 x0的瞬时变化率．2．函数 f(x)在 x＝x0处的导数函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是lim＝lim我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′( x 0) 或 y ′| x ＝ x 0 ，即 f′(x0)＝lim＝lim.3．函数的导数如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 处的导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x)，于是在区间(a，b)内 f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，记为 f ′( x ) 或 ( y x′ 、 y ′) ． 导函数通常简称为导数.要点一 物体运动的瞬时速度例 1 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s 时的瞬时速度为 8m/s，求常数 a 的值．解 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt.在 t＝2s 时，瞬时速度为 lim＝4a，即 4a＝8，∴a＝2.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间 t0到 t0＋Δt 之间的平均速度＝；(3)求 lim的值，即得 t＝t0时的瞬时速度．跟踪演练 1 如果质点 A 按照规律 s＝3t2运动，则在 t＝3 时的瞬时速度为( )A．6B．18C．54D．81答案 B解析 s＝3t2，∴＝＝＝3Δt＋18，lim (3Δt＋18)＝18，∴在 t＝3 时的瞬时速度为 18.要点二 函数在某点处的导数例 2 求 y＝x2在点 x＝1 处的导数．解 Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，＝＝2＋Δx，∴lim＝lim...
