高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

1．3 二项式定理1．3.1 二项式定理[目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式.3.能解决与二项式定理有关的简单问题．[重点] 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数．[难点] 解决与二项式定理有关的简单问题．知识点一 二项式定理[填一填]1．二项式定理：(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n ( n ∈ N * ) ．2．展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有( n ＋ 1) 项．3．二项式系数：C( k ＝ 0,1,2 ， … ， n ) ．[答一答]1．二项式定理适用条件是什么？提示：二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，幂指数不能是零和负数．2．(a＋b)n与(b＋a)n展开式相同吗？提示：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Ca0bn(n∈N*)．(b＋a)n＝Cbna0＋Cbn－1a1＋…＋Cbn－kak＋…＋Cb0an(n∈N*)．由于 C＝C，故(a＋b)n展开式中的第 k＋1 项 Can－kbk与(b＋a)n展开式中的第 n－k＋1 项Cbkan－k相等．故(a＋b)n与(b＋a)n展开式相同．3．二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指 C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与 a，b 的值有关．知识点二 二项展开式的通项[填一填]1．(a＋b)n的通项：(a＋b)n展开式中第 k＋1 项 Tk＋1＝C a n － k b k ( k ＝ 0,1,2 ， … n ) 称为二项展开式的通项公式．2．(a－b)n的通项：将－b 看成 b 代入二项式定理中，得到(a－b)n，展开式中第 k＋1 项Tk＋1＝( － 1) k C a n － k b k .[答一答]4．二项式(a＋b)n的通项与(b＋a)n的通项相同吗？提示：在(a＋b)n中通项 Tk＋1＝Can－kbk.在(b＋a)n中，Tk＋1＝Cbn－kak，不相同．5．二项式(1＋x)n(n∈N＋)的通项公式是什么？提示：Tr＋1＝Cxr.1．二项式定理的理解二项式定理是关于 a，b 的一个恒等式，由于(a＋b)n＝将(a＋b)看作是含有红(a)、白(b)两球的盒子，则(a＋b)n的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如 an－rbr是从这 n 个盒子中取出 r 个白球(b)、(n－r)个红球(a)的情况，其方法数为 C，因此有(a...