高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 1.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质． 2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用．1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C ＝ C ＋ C ．2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C＝C，C＝C，…，C＝C.(2)增减性与最大值：当 k<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数 Cn 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 Cn，Cn相等，且同时取到最大值．(3)各二项式系数的和：①C＋C＋C＋…＋C＝2n.②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.对二项式性质的理解(1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件．(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当 n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同． (3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )(3)二项展开式的二项式系数和为 C＋C＋…＋C.( )答案：(1)√ (2)× (3)× 在(a＋b)10的二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )A．第 8 项 B．第 7 项C．第 9 项 D．第 10 项答案：C 在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n 等于( )A．8 B．9C．10 D．11答案：C 如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行的首尾两个数均为________．答案：2n－1探究点 1 与杨辉三角有关的问题 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是( )A．第 6 行 B．第 7 行C．第 8 行 D．第 9 行(2) 如 图 ， 在 杨 辉 三 角 中 ， 斜 线 AB 上 方 箭 头 所 示 的 数 组 成 一 个 锯 齿 形 的 数 列 ：1...