3.1.3 导数的几何意义[学习目标] 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答：设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线 AD叫做此曲线在点 A 处的切线．于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝lim.[预习导引]导数的几何意义函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 ． 也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f ′( x 0) ． 相应地，切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． 要点一 已知过曲线上一点求切线方程例 1 若曲线 y＝x3＋3ax 在某点处的切线方程为 y＝3x＋1，求 a 的值．解 y＝x3＋3ax.∴y′＝lim＝lim＝lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)，结合已知条件，得解得∴a＝1－.规律方法 一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知 k＝lim＝lim，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练 1 求曲线 y＝在点处的切线方程．解 因为lim＝lim＝lim＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－＝－(x－2)，即 x＋4y－4＝0.要点二 求过曲线外一点的切线方程例 2 已知曲线 y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0?(2)曲线过点 P(3,9)的切线方程．解 y′＝lim＝lim＝lim (4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点 P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)．将 P(3,9)及 y0＝2x－7 代入上式，得 9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．解得 x0＝2 或 x0＝4，所以切点为(...
