高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换疱工巧解牛知识•巧学一、半角的三角函数1.在倍角公式 cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1 中，以 α 代替 2α，以代替 α，将得出 sin=± ，，，我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由所在的象限确定.2.对于半角的切函数，还可写成，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明，即. 同 理 ， 可 把的 分 子 、 分 母 同 乘 以 2sin， 即 可 化 成.也可从半角的切函数出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值.由于，∴|tan|=. sinα=2sincos=2tan·cos2，∴sinα 与同号.又 1+cosα>0，∴. 同理，若把的分子、分母同乘以 1-cosα，可转化成. 我们也把，称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的.3.对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为才是半角.如 2α 是 4α的半角、是 3α 的半角；反之，、2α 分别是、α 的倍角.正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.学法一得 关于半角正切的三个公式：公式不带有根号，而且分母为单项 式 ， 运 用 起 来 特 别 方 便 ， 但 要 注 意 它 与 以 下 两 个 公 式 ：和的使用范围不完全相同，后两个公式只要 α≠(2k+1)π(k∈Z)，而第一个公式除 α≠(2k+1)π(k∈Z)之外，还必须有 α≠2kπ(k∈Z).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.误区警示 当所在的象限无法确定时，应保留根号前面的正、负两个符号；当 α 或的大小确定时，应根据所在的象限，确定根号前的正负号.二、积化和差公式1.公式：sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］；cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;sinαsinβ=［cos(α+β)-cos(α-β)］.2.公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.如第一个公式，可以由S(α+β)+S(α-β)产生，因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ， sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ ， 所 以sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，两边同除以 2 即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得.3.公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角 α、β，等式右边为它们的和差角...