1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 [学习目标]1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．2．理解二项式系数的性质并灵活运用．[知识链接]1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？答 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1 行对应数值相等．2．根据杨辉三角的第 1 个规律，同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？答 对称性，因为 C＝C，也可以从 f(r)＝C 的图象得到．3．二项式系数何时取得最大值？答 当 n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项的二项式系数 Cn，Cn相等，且同时取得最大值．[预习导引]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C ＋ C ．2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C＝C增减性与最大值增减性：当 k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当 k＞时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数 Cn，最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C＋C＋C＋…＋C＝2 n ②②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 1要点一 与杨辉三角有关的问题例 1 如图在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值．解 由图知，数列中的首项是 C，第 2 项是 C，第 3 项是 C，第 4 项是 C，…，第 17 项是 C，第 18项是 C，第 19 项是 C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＋C＝C－1＋C＝274.规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．跟踪演练 1 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.第 ...
