3．1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点 导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． 特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线却仅有一条．( × )2．曲线在点 P 处的切线和过点 P 的切线意思相同．( × )3．这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．( √ )题型一 求切线方程命题角度 1 曲线在某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：y＝x3＋，求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程．解 将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4，∴切点坐标为 P(2,4)． y′|x＝2＝lim＝lim＝lim[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 1 曲线 y＝x2＋1 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是________．答案 －3解析 y′|x＝2＝lim＝lim＝lim (4＋Δx)＝4，∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线 y＝x2＋1 在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即 y＝4x－3.∴切线与 y 轴交点的纵坐标是－3.命题角度 2 曲线过某点的切线方程例 2 求抛物线 y＝x2过点的切线方程．解 设切线在抛物线上的切点坐标为， ＝lim＝lim＝x0，∴＝x0，即 x－8x0＋7＝0，解得 x0＝7 或 x0＝1.∴切线过抛物线 y＝x2上的点，，故切线方程为 y－＝(x－7)或 y－＝(x－1)，0| x xy化简得 14x－4y－49＝0 或 2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程．反思感悟 过点(x1，y1)的曲线 y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)．(2)建立方程 f′(x0)＝.(3)解方程 k＝f′(x0)，得 x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练 2 求过点(－1,0)与曲线 y...
