高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质[目标] 1.能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题.2.能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.3.会用赋值法求展开式系数的和．[重点] 1.二项式系数的性质及应用.2.“赋值法”的应用．[难点] 利用杨辉三角解决实际问题．知识点一 杨辉三角的特点[填一填](1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项相等．(2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C ＋ C .[答一答]1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示：不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1 行对应数值相等．2．杨辉三角中同一行的数字有什么规律？提示：从第二行起，每一行两端都是 1，且与这两个 1 等距离的项的数值相等．3．杨辉三角相邻两行数字间有什么关系？提示：在相邻两行数字中，除 1 以外每一个数都等于它“肩上”两个数的和．知识点二 二项式系数的性质[填一填] [答一答]4．二项式系数中，当 n 是偶数时，第项最大；当 n 是奇数时，第和第项相等且最大，这个结论正确吗？5．为什么二项式系数的中间一项或两项的值最大(性质 3)？试证明．提示：设第 r＋1 项的二项式系数最大．则即⇔⇔≤r≤.由 r∈N＋，故①当 n 为偶数时 r＝；②当 n 为奇数时 r＝或 r＝，有两解，这一方法也是求展开式系数最大值的方法．6．二项式中各项的二项式系数之和如何求？提示：在二项式中，令 a＝b＝1，可得(1＋1)n＝2n＝C＋C＋C＋…＋C，即 2n＝C＋C＋C＋…＋C.1．二项展开式系数和的求法求展开式的系数和的关键是给字母赋值，而赋值的选择视所求展开式系数和的特征而定．例如：由(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，令 x＝1 有 C＋C＋C＋…＋C＝2n，令 x＝－1 有 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一般地，多项式 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的各项系数和为 f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]．2．展开式系数最大问题求展开式系数的最大问题，首先要区分“展开式系数最大”、“二项式系数最大”以及“最大项”等；其次要注意其展开式系数在系数均为正的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式(组)即可．即设第 r＋1 项的系数最大，则.注意：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，...