高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算教学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教学案

3.2 导数的计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P81～P85的内容，回答下列问题．已知函数：①y＝f(x)＝c，② y＝f(x)＝x，③ y＝f(x)＝x2，④y＝f(x)＝，⑤ y＝f(x)＝.(1)函数 y＝f(x)＝c 的导数是什么？提示： ＝＝＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－，()′＝ .(3)函数②③⑤均可表示为 y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示： (x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x－1＝，∴(xα)′＝αxα－1．2．归纳总结，核心必记(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝α · x α － 1 f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－ sin _xf(x)＝axf′(x)＝a x ln _a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝e x f(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，且 a≠1)f(x)＝ln xf′(x)＝(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；②[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；当 g(x)＝c 时，[cf(x)]′＝cf ′( x ) ．③′＝(g(x)≠0)．[问题思考](1)常数函数的导数为 0 说明什么？提示：说明常数函数 f ( x ) ＝ c 图象上每一点处的切线的斜率都为 0 ， 即每一点处的切 线都平行 ( 或重合 ) 于 x 轴． (2)对于公式“若 f(x)＝xα(α∈Q*)，则 f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：当 α ∈ R 时 ， f ′ ( x ) ＝ αx α － 1 仍然成立 ．(3)下面的计算过程正确吗？′＝cos＝.提示：不正确．因为 sin＝是一个常数，而常数的导数为零，所以′＝0．(4)若 f(x)，g(x)都是可导函数，且 f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b 为常数)；②′＝－.提示：由导数的运算法则可知 ， 这两个关系式都正确 ．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？ ；(2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？ ．[思考] 你能说出函数 f(x)＝c 与 f(x)＝xα、f(x)＝sin x 与 f(x)＝cos x、f(x)＝ax与 f(x)＝ex、f(x)＝logax 与 f(x)＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数 f(x)＝xα中的 α 可以由 Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”...