高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.2 导数的计算基本初等函数的导数[提出问题]已知函数：(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，(3)y＝f(x)＝x2，(4)y＝f(x)＝，(5)y＝f(x)＝.问题 1：函数 y＝f(x)＝c 的导数是什么？提示： ＝＝＝0，∴y′＝＝0.问题 2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－，()′＝ .问题 3：函数(2)(3)(5)均可表示为 y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示： (x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝(x12 )′＝x-112 ＝，∴(xα)′＝αxα－1.[导入新知]基本初等函数的导数公式原函数导函数①f(x)＝cf′(x)＝0②f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αx α － 1 ③f(x)＝sin xf′(x)＝cos_x④f(x)＝cos xf′(x)＝－ sin _x⑤f(x)＝axf′(x)＝a x ln __a ( a ＞ 0) ⑥f(x)＝exf′(x)＝e x ⑦f(x)＝logaxf′(x)＝( a ＞ 0 ，且 a ≠1) ⑧f(x)＝ln xf′(x)＝[化解疑难]理解公式时要注意的五点：(1)对于幂函数型函数的导数，x 为自变量，α 为常数，可推广到 α∈R 也成立；(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母 a 的范围；(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．1导数的运算法则[提出问题]已知 f(x)＝x，g(x)＝.问题 1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.问题 2：试求 Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．提示： Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－，∴Q′(x)＝＝＝1－.同理 H′(x)＝1＋.问题 3：Q(x)，H(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于 f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于 f(x)，g(x)导数的差．问题 4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？提示：不对，因为 f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而 f′(x)·g′(x)＝1×＝－.[导入新知]导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；(3)′＝(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝cf ′( x ) ． [化解疑难]导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“...