3.2.3 导数的四则运算法则[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？答：利用导数的运算法则．[预习导引]导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)续表[f(x)·g(x)]′＝f ′( x )· g ( x ) ＋ f ( x )· g ′( x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数[Cf(x)]′＝Cf ′( x ) 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数′＝(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方要点一 利用导数的运算法则求函数的导数例 1 求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝3x－lgx.解 (1) y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－(1)′＝3x2－2x＋1.(2)函数 y＝3x－lgx 是函数 f(x)＝3x与函数 g(x)＝lgx 的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得y′＝(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练 1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－.解 (1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝ex·lnx＋；(4)y′＝＋.要点二 导数的应用例 2 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方程．解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x－2.故切线方程为 y－y0＝(3x－2)(x－x0) ① (x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0 ②又 (1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得 x0＝1 或 x0＝－.切线的斜率分别为 1 和－.故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－(x－1)．即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝...
