3.3.1 利用导数判断函数的单调性课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例 1】 求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析：求出导数 y′,分别令 y′>0 或 y′<0,解出 x 的取值范围，便可得出单调区间.解：(1)y′=4x3-4x,令 y′>0,即 4x3-4x>0，解得-11,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).令 y′<0,解得 x<-1 或 00，即 4x- x1 >0，解得- 21 21 ;令 y′<0,即 4x- x1 <0，解得 x<-21 或 00,∴单调增区间为( 21 ，+∞)，单调减区间为(0， 21 ).温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例 2】若函数 f(x)=232131axx +(a-1)x+1 在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围.解析：函数 f(x)的导数 f′(x)=x2-ax+a-1.令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1.当 a-1≤1,即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，+∞)上为增函数，不合题意.当 a-1>1,即 a>2 时，函数 f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(1，a-1)内为减函数，在(a-1,+∞)上为增函数.依题意应有当 x∈(1,4)时，f′(x)<0;当 x∈(6,+∞)时，f′(x)>0.所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7.所以 a 的取值范围是［5,7］.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例 3】 当 x∈(0, 2π )时，证明 tanx>x.思路分析：首先构造函数 f(x)=tanx-x,然后判断 f(x)在(0， 2π )上的单调性.证明：设 f(x)=tanx-x,x∈(0, 2π ).∴f′(x)=(.0tancoscos11cos11cossincos1)cossin(2222222xxxxxxxxx1∴f(x)在(0, 2π )上为增函数.又 f(x)=tanx-x 在 x=0 处可导且 f(0)=0,∴当 x∈(0, 2π )时，f(x)>f(0)恒成立，即 tanx-x>0，∴tanx>x.温馨提示对于 tanx 的导数，没有导数公式可用，可先变换成 sinx、cosx 的导数，然后根据运算法则求导.各个击破类题演练 1证明函数 f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上是增函数.证明：f′(x)=(ex)′+(xe1 )′=ex+(-xe1 )=ex-e-x=,1)(2xxee, 当 x∈［0,+∞)时，ex≥1,∴f′(x)≥0.∴f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上为增函数.变式提升 1设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范...
