高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案VIP专享

3．3.1 利用导数判断函数的单调性 1.了解函数的单调性与导数的关系． 2.能够利用导数研究函数的单调性．3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间． [学生用书 P55]一般地，设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调增函数f′(x)＜0单调减函数f′(x)＝0常数函数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( )(2)因为函数 y＝的导函数 y′＝－＜0，所以说该函数在其定义域内为减函数．( )答案：(1)× (2)×2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定答案：A3．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 的单调递减区间为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－∞，0) D．(0，2)答案：D4．函数 y＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升 利用导数证明或判断函数的单调性[学生用书 P56] 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减．【证明】 f′(x)＝，又 x∈，则 cos x<0，sin x>0，所以 xcos x－sin x<0，所以 f′(x)<0，所以 f(x)在上是减函数．利用导数证明或判断函数单调性的思路 设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，其中 a∈R.讨论 f(x)的单调性．解：f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．当 a≤0 时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当 a＞0 时，由 f′(x)＝0，有 x＝ .此时，当 x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 利用导数求函数的单调区间[学生用书 P56] 求下列函数的单调区间．(1)y＝x3－9x2＋24x；(2)f(x)＝x2－ln x.【解】 (1)y′＝(x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，令 3(x－2)(x－4)>0，解得 x>4 或 x<2，所以 y＝x3－9x2＋24x 的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)．令 3(x－2)(x－4)<0，解得 20}，因为 f′(x)＝2x－＝，所以令 f′(x)>0，则 x>，令 f′(x)<0，则 0