3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值【例 1】 确定函数 f(x)=12 xx在区间［-2,2］上的单调性并求 f(x)在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得 f′(x)=2222222)1(1)1()1()1(xxxxxxx,令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=1.列出下表：x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2f′(x)-0+0-f(x)极小值极大值由表可知：f(x)的极小值是 f(-1)=211)1(12;极大值是 f(1)=21 .又 f(-2)=- 52 ,f(2)= 52 ,∴f(x)在区间［-2,2］上的最大值是 21 ，最小值是- 21 .温馨提示即函数 f(x)=12 xx的定义域为 R.又 1lim2 xxx=0,∴f(x)在 R 上的最大值与最小值还分别为 21 和- 21 .又 f(0)=0,∴函数 f(x)= 12 xx在 R 上的值域为［- 21 , 21 ］.二、极值的应用【例 2】 已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处有极小值-1,试确定 a、b 的值，并求出 f(x)的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出 a、b 的值，再求函数 f(x)的单调区间.解：由已知，得 f(1)=1-3a+2b=-1,又 f′(x)=3x2-6ax+2b①∴f′(1)=3-6a+2b=0②由①②得 a= 31 ,b=- 21 .故函数的解析式为 f(x)=x3-x2-x.由此得 f′(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质，当 x<- 31 或 x>1 时，f′(x)>0；当- 31 0,得 x<-1 或 x> 31 ;由 f′(x)<0,得-1
