第一章 计数原理一、两个计数原理1． 精要总结（1）分类加法计数原理又称为分类计数原理、加法原理等．应用此原理解题要注意以下几点： ① 明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． ② 当完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法． ③ 确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法都属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法．也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”． ④ 分类加法计数原理的集合表述形式做一件事．完成它的办法用集合 S 表示，S 被划分成 n 类方法分别用集合 S1，S2，S3，… … ， Sn 表 示 ， 即 S=S1∪S2∪S3∪……∪Sn 且 Si∪Sj=（ i≠j ； i ， j=1 ， 2 ，……，n），S1，S2，S3，……，Sn分别有 m1，m2，……，mn个元素，则完成这件事共有的方法即集合 S 中元素的个数为 m1+m2+……+mn．如下图所示：（2）分步乘法计数原理又称为分步计数原理、乘法原理等．应用此原理解题要注意以下三点：① 明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事要经过几步．② 完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成．③ 根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这 n 步连续地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．可以用下图表示分步计数原理．（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理常综合应用：在分类中又包含分步，或分步中包含分类，“类”“步”交融．解决此类问题要注意根据所学认真分析，既要会合理分类，又能合理分步，解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定．常见的问题一般是先分类后分步．2． 错例辨析例 1 甲、乙、丙、丁四位女同学在课后练习打排球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由接球者再传给其他三人任一人，这样共传了 4 次，则第 4 次球仍回到甲的方法共有 ( ) A．21 种 B．42 种 C．24 种 D．27 种错解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有 3 种方法；第二步传给甲以外的 2 人，第三步又传给甲以外的 2 人，第四步再传给甲．共有 2×2×1 种方法，因此一共有 3×2×2×1=12 种方法．错因分析：上述解法中漏掉了第二步可以...
