3.3.2 利用导数研究函数的极值预习导航课程目标学习脉络1.理解函数极值与最值的概念．2．了解极值与最值的区别与联系．3．会用函数的导数求函数的极值和最值.1．极值点与极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＜ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值记作：y 极大值＝ f ( x 0)极小值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＞ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值记作：y 极小值＝ f ( x 0)极值点若函数 f(x)在 x0处取得极大值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点；若函数 f(x)在 x0处取得极小值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点 思考 1 极值点是不是一个点？提示：极值点不是点，是函数 f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．思考 2 同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？提示：不一定．极值是一个局部概念，在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，极大值不一定比极小值大．2．求可导函数 y＝f(x)极值的步骤(1)求导数 f ′( x ) ． (2)求方程 f ′( x ) ＝ 0 的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f ′( x ) 的符号如何变化．如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值．思考 3 若 f′(x0)＝0，则 x0一定是函数 f(x)的极值点吗？提示：不一定．例如函数 y＝x3在 x＝0 处的导数为 0，但它不是极值点．因为 f′(x)在 x＝0 的左右两侧的符号相同．对可导函数来说，导数为 0 是函数在这一点取得极值的必要不充分条件．3．函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值1思考 4 函数的极大值一定是最大值吗？提示：不一定．首先函数的极大值可能不唯一，有多个，其次，极大值还要与端点的函数值比较大小，才能确定哪个是最大值．2
