高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用课堂导学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案VIP专享

3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例 1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24 200- 51 x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产 x 吨时的利润为f(x)=(24 200- 51 x2)x-(50 000+200x)=- 51 x3+24 000x-50 000(x≥0).由 f′(x)=- 51 x2+24 000=0.解得 x1=200,x2=-200(舍去).因 f(x)在［0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f′(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为f(200)=- 51 (200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于 0，求 y′=0 的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例 2】 已知某厂生产 x 件产品的成本为c=25 000+200x+ 401 x2(元).(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.解析:(1)设平均成本为 y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522xxxyxxxxxxy令 y′=0，得 x1=1 000,x2=-1 000(舍去).当在 x=1 000 附近左侧时，y′<0;在 x=1 000 附近右侧时，y′>0;故当 x=1 000 时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使 y′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产 1 000 件产品.1(2)利润函数为 L=500x-(25 000+200x+402x)=300x-25 000-402x.∴L′=(300x-25 000-402x)′=300-20x .令 L′=0，得 x=6 000，当 x 在 6 000 附近左侧时，L′>0;当 x 在 6 000 附近右侧时 L′<0，故当 x=6 000 时，L 取得极大值.由于函数只有一个使 L′=0 的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产 6 000 件产品.三、导数在生活中的应用【例 3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为 S，水面的高为 h，当水渠侧边的倾斜角 Φ 为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于 a，当水渠侧边倾斜角 Φ 多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边...