高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤（ab）2（一）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（一）[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 重要不等式及证明如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”)．请证明此结论．证明 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”．知识点二 基本不等式1．内容：≤，其中 a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时，等号成立．2．证明： a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当 a＝b 时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为 a＋b 的线段 AB 为直径作圆，在直径 AB 上取一点C ， 使 AC ＝ a ， CB ＝ b ， 过 点 C 作 垂 直 于 直 径 AB 的 弦 DD′ ， 连 接AD，DB，易证 Rt△ACD ∽ Rt△DCB，则 CD2＝CA·CB，即 CD＝.这个圆的半径为，显然它大于或等于 CD，即≥，当且仅当点 C 与圆心 O 重合，即 a＝b 时，等号成立．知识点三 基本不等式的常用推论(1)ab≤≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)当 ab>0 时，＋≥2；当 ab<0 时，＋≤－ 2 ；(4)a2＋b2＋c2≥ab ＋ bc ＋ ca (a，b，c∈R)．题型一 利用基本不等式比较大小例 1 设 00，即>a，排除 D 项，故选 B.方法二 取 a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以 a＜＜＜b.反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即 a＞0，b＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练 1 若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2C.＋＞ D.＋≥2答案 D解析 对于 A，应该为 a2＋b2≥2ab，漏等号，故 A 错误；对于 B，当 a＜0，b＜0 时，ab＞0，但 a＋b＜2，故 B 不成立；对于 C，当 a＜0，b＜0 时，ab＞0，故 C 不成立；对于D， ab＞0，则＞0 且＞0，∴＋≥2＝2.当且仅当＝，即 a＝b 时，取“...