高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 最大值与最小值学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3.3.3 最大值与最小值学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念． 2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的最大值与最小值如 果 在 函 数 定 义 域 I 内 存 在 x0 ， 使 得 对 任 意 的 x∈I ， 总 有 f ( x )≤ f ( x 0)(f(x)≥f(x0))，则 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最大值(最小值)．2．求函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤第一步，求 f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，得到 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【解析】 (1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1 在[0,10]的最大值是 f(10)，而不是其极大值 f(1)．(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值为 f(0)＝0，不在区间端点取得．【答案】 (1)× (2)√ (3)×2．已知函数 y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．【解析】 y′＝3x2－2x－1，由 y′＝0 得 3x2－2x－1＝0，得 x1＝－，x2＝1. f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15，∴该函数在[0,3]上的最大值为 15.【答案】 15[合 作 探 究·攻 重 难]求函数的最值 求函数 f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值．[思路探究] 求 f′(x)，研究 f(x)在[－1,3]上的极值，并与 f(－1)，f(3)比较确定最值．【自主解答】 f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋)(x－)．由 f′(x)＝0 得 x＝－或 x＝.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，)(,3)3f′(x)－0＋f(x)10↘－8↗18由上表知函数 f(x)的最小值是－8，最大值是 18.[规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.[跟踪训练]1．求函数 f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值. 【导学号：95902236】【解】 易知 f′(x)＝1－3x2.令 f′(x)＝1－3x2＝0，则 x＝±. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： ...