高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用教学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教学案VIP专享

3.3 导数在研究函数中的应用第 1 课时 函数的单调性与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P89～P93的内容，回答下列问题．(1)观察教材 P89图 3.3－1，回答下列问题：① 函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h′(t)>0．② 函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)<0．(2)观察教材 P90图 3.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数；② 在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数；③ 在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；④ 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－<0，y(x)是减函数．(3)观察教材 P93图 3.3－7，函数 f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较 f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．(4)观察函数 f(x)＝，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0，1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与 f′(x)在(0，1)和 (1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数 f′(x)在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．2．归纳总结，核心必记(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[问题思考](1)如果在区间(a，b)内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)有什么特性？提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．(2)在区间(a，b)内，若 f′(x)>0，则 f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如 y＝x3在 R 上为增函数，但其在 x＝0 处的导数等于零．也就是说 f′(x)>0 是 y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(3)下图为导函数 y＝f′(x)的图象，则函数 y＝f(...