高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 单 调 性已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题 1：试作出上述三个函数的图像．提示：图像为问题 2：试根据上述图像说明函数的单调性．提示：函数 y1＝x 在 R 上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题 3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0；y2′＝2x，当 x>0 时，y2′>0，当 x<0 时，y2′<0，y3′＝－<0.问题 4：由问题 2、3 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当 f′(x)>0 时，f(x)为增函数，当 f′(x)<0 时，f(x)为减函数．问题 5：试用 y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：y＝ex的导函数 y′＝ex>0，所以 y＝ex在 R 上为增函数，y＝e－x的导函数 y′＝－e－x<0，所以 y＝e－x在 R 上为减函数．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系导数函数的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减f′(x)＝0常数函数1．函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释，导数大于零，切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数．2．在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性．如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，而 f(x)＝x3在 R 上是增函数．判断或证明函数的单调性[例 1] 求证函数 f(x)＝sin x＋tan x 在内为增函数．[思路点拨] 先利用求导法则求出导数 f′(x)，再证明 f′(x)在内恒正，得出结论．[精解详析] 函数 f(x)＝sin x＋tan x 在内恒有意义，且 f′(x)＝(sin x)′＋(tan x)′＝cos x＋1＝cos x＋＝.又 x∈，∴00，∴y＝f(x)在内为增函数．[一点通] 用导数判断函数 y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤：(1)求出 y＝f(x)的导数 f′(x)；(2)证明导数 y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；(3)下结论 y＝f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)．1．已知函数 y＝f(x)，x∈[0,2π]的导函数 y＝f′(x)的图像如图所示，则 y＝f(x)的单调增区间为________．解析：根据 f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，f′(x)<0 时，f′(x)单调递减，由图得到 x∈[0，π]时，f′(x)>0，故 y＝f(x)的单调增区间为(0，π)．答案：(0，π)2．讨论下列函数的单调性：(1)f(x)＝...