3．3.1 利用导数判断函数的单调性[学习目标] 1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设 x1＜x2的前提下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小，在函数 y＝f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答：根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]1．函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内由函数的导数求单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)在区间(a，b)内由函数的单调性求导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递减f′(x)≤0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常数函数f′(x)＝02.一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.要点一 利用导数判断函数的单调性例 1 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减．证明 f′(x)＝，又 x∈，则 cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则 f′(x)≥(或≤)0.跟踪演练 1 证明：函数 f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．证明 f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又 00，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数．要点二 利用导数求函数的单调区间例 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00 得 6x2＋6x－36>0，解得 x<－3 或 x>2；由 f′(x)<0 解得－3
