3．3.1 利用导数判断函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系思考 f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么 f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？答案 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.总结 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，在其余的点恒有 f′(x)>0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增．( × )2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( × )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √ )题型一 利用导数判断函数的单调性例 1 证明：函数 f(x)＝在区间上单调递减．证明 f′(x)＝，又 x∈，则 cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．反思感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则 f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练 1 证明：函数 f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．证明 f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又 00，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数．题型二 利用导数求函数的单调区间命题角度 1 不含参数的函数求单调区间例 2 求 f(x)＝3x2－2lnx 的单调区间．解 f(x)＝3x2－2lnx 的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝＝，由 x>0，解 f′(x)>0，得 x>，由 x＞0，解 ...
