高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案VIP专享

第 1 课时 利用导数研究函数的极值[学习目标] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修 1 中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，观察下图，函数 y＝f(x)在 x＝d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答：以 d、e 两点为例，函数 y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)＞0.类似地，函数 y＝f(x)在点 x＝e 处的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.[预习导引]1．极值点与极值已知函数 f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x )< f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0 处取极大值，记作 y 极大值＝f(x0)，并把 x0 称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 f ( x )> f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值，记作 y 极小值＝f(x0)，并把 x0称为函数 f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．求可导函数 y＝f(x)极值的步骤(1)求导数 f′(x)；(2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f′(x)的符号如何变化，如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值．如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值.要点一 求函数的极值例 1 求函数 f(x)＝－2 的极值．解 函数的定义域为 R.f′(x)＝＝－.令 f′(x)＝0，得 x＝－1，或 x＝1.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当 x＝－1 时，函数有极小值，且极小值为 f(－1)＝－3；当 x＝1 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)＝－1.规律方法 求可导...