高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 第2课时 利用导数研究函数的最值教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案VIP专享

第 2 课时 利用导数研究函数的最值[学习目标] 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，非常数函数的最值只要不在端点处取得必定是极值，在开区间(a，b)上若有唯一的极值，则此极值必是函数最值．[预习导引]1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大 ( 小 ) 值． 4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的所有函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间(a，b)上的某一个 x0附近相比较最大(小)的函数值.要点一 求函数在闭区间上的最值例 1 求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当 x＝4 时，f(x)取最大值 35.当 x＝－2 时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， f′(x)在[－1,1]内恒大于 0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12；x＝1 时，f(x)最大值＝2.即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是...