高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性 四 直角三角形的射影定理创新应用教学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学教学案

四 角三角形的射影定理[对应学生用书 P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这 条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角 边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，则有 CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书 P14]射影定理的有关计算[ 例 1] 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， CD 为 斜 边 AB 上 的 高 ， 若 AD ＝ 2 cm，DB＝6 cm，求 CD，AC，BC 的长．[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解] CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)． AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)． BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．故 CD、AC、BC 的长分别为 2 cm,4 cm,4 cm.(1)在 Rt△ABC 中，共有 AC、BC、CD、AD、BD 和 AB 六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 是 AB 上的高．已知 BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得 BC2＝BD·AB，∴BC＝＝＝2.又 AD＝AB－BD＝29－4＝25.且 AC2＝AB2－BC2，∴AC＝＝＝5. CD2＝AD·BD，∴CD＝＝＝10.2．已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC，BC 的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD 的值；(2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．解：(1) AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝.∴＝()2＝( )2＝.(2) AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝×25＝9(cm)，BD＝×25＝16(cm)．∴CD＝＝＝12(cm).与射影定理有关的证明问题[ 例 2] 如 图 所 示 ， CD 垂 直 平 分 AB ， 点 E 在 CD 上 ，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G 分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明] CD 垂直平分AB，∴△ACD 和 △ BDE 均 为 直 角三角形，且 AD＝BD.又 DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2. AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成...