第 2 课时 利用导数研究函数的最值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数 y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．知识点二 求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数 f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如 图 是 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 函 数 图 象 ， 显 然 f(x1) ， f(x3) ， f(x5) 为 极 大 值 ，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值 y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在 x＝x3及 x＝b 处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在 x＝x4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × )2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )3．函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )题型一 求函数的最值命题角度 1 不含参数的函数求最值例 1 求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57↘－↗由于当 x>时，f′(x)>0，所以 f(x)在上为增函数．因此，函数 f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．(2)f′(x)＝＋cosx，令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]，解得 x＝或 x＝.计算得 f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝...
