高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理互动课堂学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

四 直角三角形的射影定理互动课堂重难突破 一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图 1-4-1，AB 在 AC 上的射影是线段 AC；BC 在 AC 上的射影是点 C；AC、BC在 AB 上的射影分别是 AD、BD，这样，Rt△ABC 中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).图 1-4-1二、直角三角形的射影定理由于角的关系，图 1-4-1 中，三个直角三角形具有相似关系，于是 Rt△ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD∽△CBD,有 CDAD = BDCD ，转化为等积式即 CD2=AD·BD；△ACD∽△ABC,有 ABAC = ACAD ，转化为等积式即 AC2=AB·AD；△BCD∽△BAC,有 BABC = BCBD ，转化为等积式即 BC2=BA·BD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一结论常作为工具用于证明和求值.如图 1-4-2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 上的高.已知 AD ＝4，BD ＝9，就可以求 CD、AC.由射影定理，得 CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以 CD ＝6,AC2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以 AC＝213.我们还可以求出 BC、AB，以及△ABC 的面积等.图 1-4-2三、刨根问底问题 1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图 1-4-2，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，那么 AC2+BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？探究:如图 1-4-2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 上的高.应用射影定理，可以得到 AC2＋BC2＝AD·AB +BD·AB=(AD +BD)·AB =AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题 2 几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基...