高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

四 直角三角形的射影定理1．掌握正射影即射影的概念，会画出点和线段的射影．2．理解并掌握射影定理，并能解决有关问题．1．射影从一点向一条直线所引垂线的______，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条线段的__________在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．点和线段的正射影简称为______．【做一做 1】线段 MN 在直线 l 上的射影不可能是( )A．点 B．线段C．与 MN 等长的线段 D．直线2．射影定理文字语言直角三角形斜边上的____是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两条直角边分别是它们在______上射影与斜边的比例中项符号语言在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于 D，则 CD2＝________；AC2＝________；BC2＝________图形语言作用确定成比例的线段(1)勾股定理：AC2＋BC2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋CD2＝BC2.(2)面积关系：AC·BC＝AB·CD＝2S△ABC，＝＝.【做一做 2－1】如图所示，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于 D，且 CD＝4，则 AD·DB 等于( )A．16 B．4C．2 D．不确定【做一做 2－2】如图所示，Rt△ABC 中，AC⊥BC，点 C 在 AB 上的正射影为 D，且 AC＝3，AD＝2，则 AB＝__________.答案：1．垂足 两个端点 射影【做一做 1】D 当 MN⊥l 时，射影是一个点；当 MN 与 l 不垂直时，射影是一条线段；特别地，当 MN∥l 或 MN 在 l 上时，射影与 MN 等长，线段 MN 的射影不可能是直线．2．高 斜边 BD·AD AD·AB BD·BA【做一做 2－1】A AC⊥CB，CD⊥AB，∴AD·DB＝CD2.又 CD＝4，∴AD·DB＝42＝16.【做一做 2－2】 AC⊥CB，又 D 是 C 在 AB 上的正射影，∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.又 AC＝3，AD＝2，∴AB＝＝.1用射影定理证明勾股定理剖析：如图所示，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于 D，则由射影定理可得 AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则 AC2+BC2＝AD·AB+BD·BA＝(AD+BD)·AB＝AB2，即 AC2+BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．题型一 与射影定理有关的计算问题【例题 1】若 CD 是 Rt△ACB 斜边 AB 上的高，AB＝25，AC＝20，试确定 DB 和 CD 的长．分析：用射影定理求出 AD，从而求出 DB，再用射影定理求出 CD．反思：(1)本题可先用勾股定理求出 BC，再用射影...